KARAKTERISTIK MATEMATIKA

MEMILIKI KAJIAN OBJEK ABSTRAK
Objek Abstrak disebut juga objek mental yang ada dalam pikiran
Meliputi objek dasar: (1) fakta, (2) konsep, (3) definisi, (4) operasi, (5) prinsip
Dari objek dasar disusun suatu pola dan struktur matematika

Fakta (abstrak)
Berupa konvensi-konvensi yang diungkap dengan simbol tertentu
Simbol bilangan “3” bs dipahami bilangan tiga
Fakta “3 + 4” dipahami sebagai “tiga ditambah empat”
Fakta “3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15”
Simbol “//” bermakna sejajar
(a,b) sebagai pasangan berurutan 

Konsep
Ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan atau mengklasifikan sekumpulan objek
“segitiga” merupakan nama suatu konsep abstrak: bisa digunakan untuk membedakan contoh segitiga atau bukan
Contoh lain: “fungsi”, “variabel”, “konstanta”, “matriks”, vektor, group, dan ruang metrik” 

Definisi
Ungkapan yang membatasi sebuah konsep
(1) “trapesium adalah segiempat yang tepat sepasang sisinya sejajar” atau (2) ”trapesium adalah segiempat yang terjadi jika sebuah segitiga dipotong oleh sebuah garis yang sejajar salah satu sisinya”
Kedua def memiliki intensi yang berbeda tetapi memiliki ekstensi yang sama.
Untuk menguji kesamaan ekstensi diberikan dengan pertanyaan, “adakah trapesium menurut definisi 1 yang tdk termasuk dalam trapesium menurut def 2 atau sebaliknya?”
Def 1 termasuk def analitis: def yang menyebutkan genus proksimum (genus terdejat) dan diferensia spesifika (pembeda khusus).
Def 2 termasuk def genetik: def yang menyebut bagaimana konsep itu terbentuk atau terjadi
Jenis def 3, def dengan rumus: (1) a – b = a + (-b), (2) n! = n(n-1)! 

Operasi
Suatu fungsi (aturan) untuk memperoleh elemen tunggal dari satu atau lebih elemen yang diketahui
Pengerjaan hitung, pengerjaan aljabar atau pengerjaan matematika yang lain.
Operasi: unair (melibatkan satu elemen), biner (melibatkan dua elemen), terner (melibatkan lebih dari dua elemen)
Unair: “tambah tiga”, komplemen, akar, dsb.
Biner: “gabungan”, penjumlahan, perkalian, dsb.  

Prinsip
Objek matematika yang kompleks terdiri dari beberapa fakta, beberapa konsep, yang dikaitkan oleh suatu relasi atau operasi.
Aksioma, teorema, sifat, dsb. 

BERTUMPU PADA KESEPAKATAN
Kesepakatan
Aksioma (postulat): pernyataan pangkal yang sering dinyatakan ttp tdk perlu dibuktikan; untk menghindarkan berputar-putarnya dalam pembuktian
Konsep primitif: undefined term (pengertian yang tdk perlu didefinisikan)
Beberapa aksioma dapat membentuk suatu sistem aksioma, yang selanjutnya dapat menurunkan lemma dan teorema  

BERPOLA PIKIR DEDUKTIF
Pola pikir deduktif
Berpangkal dari hal yang umum diterapkan atau di arahkan ke hal yang bersifat khusus
Ketika anak sudah mengenal konsep “persegi’, selanjutnya anak mengamati lingkungan sekitar, dan dapat mengatakan bangun-bangun yang diamati merupakan persegi atau bukan
Dari hasil pengamatan diperoleh teori pitagoras, ttp harus dibuktikan secara umum

MEMILIKI SIMBOL YANG KOSONG DARI ARTI
Apa maksudnya?
Bekerja dalam matematika seringkali menggunakan simbol
Rangkaian simbol-simbol dapat membentuk model matematika
Model matematika dapat berupa: persamaan, pertaksamaan, bangun geometri
Model z = x + y masih kosong dari arti, tergantung dari permasalahan yang menyebabkan model itu, bisa bilangan, bisa matriks, bisa vektor dsb
Kosong dari arti membawa konsekuensi: memungkinkan matematika memasuki medan garapan dari ilmu yang lain  

MEMPERHATIKAN SEMESTA PEMBICARAAN
Apa maksudnya?
Konsekuensi dari simbol yang kosong dari arti adalah diperlukannya kejelasan dalam lingkup model yang dipakai. 
Bila ruang lingkupnya bilangan, berarti x, y, dan z adalah simbol bilangan
Sebagai contoh: 
Dalam ruang lingkup bilangan bulat, penyelesaian 2x = 7 adalah tidak ada

KONSISTEN DALAM SISTEMNYA
Maksudnya…
Dalam matematika terdapat banyak sistem.
Ada yang saling terkait dan ada yang saling lepas
Sistem-sistem aljabar dengan sistem-sistem geometri saling lepas
Dalam sistem aljabar ada sistem-sistem lagi yang saling terkait. 
Dalam satu sistem tidak boleh ada kontradiksi
Tetapi antar sistem ada kemungkinan timbul kontradiksi
Contoh: dalam geometri Euclides jumlah sudut-sudut segitiga adalah 180 derajat. Sedangkan di geometri non Euclides jumlah sudut-sudut segitiga lebih dari 180 derajat

Sistem dan Struktur dalam Matematika
Sistem Aksiomatik
Pengertian pangkal (underfined term)
Aksioma (kesepakatan)
Konsep yang didefinisikan
teorema